Замечательные числа [Ноль, 666 и другие бестии] (Мир математики. т.21.)

666 = 2∙3∙3∙37,

6 + 6 + 6 = 2 + 3 + 3 + 3 + 7.

Первыми числами Смита являются: 4, 22, 27, 58, 85, 94, 121, 166, 202, 265, 274, 319, 346, 355, 378, 382, 391, 438, 454, 483, 517, 526, 535, 562, 576, 588, 627, 634, 636, 645, 648, 654, 663, 666, 690, 706, 728, 729, 762, 778, 825, 852, 861, 895, 913, 915, 922, 958, 985, 1086. Любопытно, что эти числа открыл не математик по фамилии Смит, а Альберт Вилански из Университета Лихай, который как-то заметил, что номер телефона его зятя Гарольда Смита обладает этим примечательным свойством. Числа Смита были представлены в 1982 году.

Числа Люка

Эти числа, названные в честь открывшего их французского математика Эдуарда Люка, являются членами последовательности: 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, 199, 322…, которая очень тесно связана с числами Фибоначчи. Каждый член этой последовательности равен сумме двух предыдущих, отношение последовательных членов стремится к золотому числу.

Формула для n-го числа этого ряда очень похожа на формулу для чисел Фибоначчи, так как для n = 0 число Люка равно 2, n = 1–1, далее используется следующая формула: L (n — 1) + L (n + 1) при n > 1.

Связь чисел Фибоначчи и чисел Люка описывается следующей формулой:

Эдуард Люка (1842–1891) глубоко изучил числа Фибоначчи и создал свою числовую последовательность.

Число Грэма

Число Грэма, названное в честь математика Рональда Грэма, имеет вид 3↑↑↑↑3, где 3↑3 означает 3, возведенное в куб, и равно G = f64 (4), где f(n) = 3n↑3. Иными словами, это число имеет 64 уровня множителей вида 3↑↑…↑↑3. Эти числа нельзя записать в обычной форме с помощью степеней и показателей степени, возведенных в степень, так как для этого не хватит всех чернил во Вселенной. По этой причине число Грэма записывается с помощью особой стрелочной нотации, предложенной Дональдом Кнутом.

В этой нотации 3↑3, как мы уже упоминали, означает 3 в кубе — в таком виде оно записывается в листингах компьютерных программ. 3↑↑3 означает 3↑(3↑3), или 3 в 27-й степени — уже огромное число: 3↑27 = 7625597484987. Однако это число нетрудно представить в виде степенной башни: 33↑3. Тем не менее 3↑↑↑3 = 3↑↑(3↑↑3) равно уже 3↑↑7625597484987 = 3↑3↑3↑3… 7625597484987 раз. Даже в новой нотации 3↑↑↑↑3 = 3↑↑↑(3↑↑↑3) полученная степенная башня будет невообразимо велика.

В течение многих лет это число было самым большим числом, когда-либо использованным в доказательстве, и в этом качестве оно вошло в Книгу рекордов Гиннесса (сегодня в некоторых математических доказательствах используются еще большие числа, например в работе с конечной формой Фридмана в теореме Краскала). Число Грэма намного больше, чем гугол и гуголплекс (об этих числах мы расскажем далее). По сути, оно настолько велико, что его нельзя представить полностью, известно лишь, что его последними цифрами являются…2464195387.

Страница кафедры математики Калифорнийского университета, посвященная Рону Грэму — создателю невообразимо большого числа.

Постоянная Эйлера-Маскерони

Это число, также известное как постоянная Эйлера, обозначается греческой буквой гамма (γ) и используется главным образом в теории чисел. Оно определяется как предел разности между частичной суммой гармонического ряда и натуральным логарифмом числа:

Его приближенное значение равно:

γ = 0,577215664901532860606512090082402431…

Эйлер вычислил его значение до 16-го знака. До сих пор не известно, является ли это число иррациональным и трансцендентным, однако известно, что если это число рациональное и его можно представить в виде а/Ь, то Ь должно превышать 1010000. Как и другие похожие числа, постоянная Эйлера-Маскерони привлекла внимание исследователей, занимающихся вычислениями. Александр Йи вычислил 116 миллионов знаков этого числа, пользуясь лишь своим ноутбуком среднего уровня с процессором Intel Core Duo частотой 1,6 ГГц под управлением Windows ХР. На вычисления потребовалось 38 часов, еще 48 — на проверку результата.

Постоянные Фейгенбаума

Постоянные Фейгенбаума, найденные математиком Митчеллом Фейгенбаумом в 1975-м, — это два вещественных числа, которые используются в бифуркационных диаграммах в теории хаоса. Первая постоянная Фейгенбаума определяется как предел отношения двух последовательных интервалов бифуркации:

Ее приближенное значение равно:

δ = 4,66920160910299067185320382…

Вторая постоянная Фейгенбаума определяется как предел отношения двух последовательных расстояний между ближайшими ветвями хm (максимума функции f):

Ее приближенное значение равно:

α ~ 2,502907875095892822283902873218…

Эти постоянные имеют особое применение при анализе динамических систем. Оба числа являются вещественными. Считается, что они трансцендентны (разновидность иррациональных чисел, которые нельзя выразить как корень многочлена с целыми коэффициентами), однако эта гипотеза пока не доказана.

Числа харшад

Числом харшад называется целое число, которое, будучи записанным в данной системе счисления, делится нацело на сумму своих цифр. Эти числа описал индийский математик Даттарайя Рамчандра Капрекар. Слово «харшад» на санскрите означает «великая радость». Эти числа также известны как числа Найвена, так как их представил в своей статье американский математик Айван Мортон Найвен в 1997 году.

Все целые числа от 0 до числа, выражающего основание данной системы счисления, являются числами харшад. Так, в десятичной системе счисления числами харшад будут все числа от 1 до 9. Двузначными числами харшад в десятичной системе счисления являются: 10, 12, 18, 20, 24, 27, 30, 36, 40, 42, 45, 48.

Число Капрекара, 6174, также является числом харшад, поскольку делится без остатка на сумму своих цифр:

6174/(6 + 1 + 7 + 4) = 6174/18 = 343.

ЧИСЛО УЛЕРА

Числом Улера называется 1001-значное число 450! (450 факториал). В 1950-е годы его вычислил Горацио Улер. Как мы упоминали в главе об особых числах современности, это число также известно под названием «факториал тысячи и одной ночи».

Пары Рута-Аарона

Парами Рута-Аарона называются пары последовательных чисел (например, 714 и 715), которые обладают любопытными свойствами. Открывший их математик Карл Померане, вместо того чтобы назвать их своим именем, назвал их парами Рута-Аарона в честь двух бейсболистов, которые за карьеру набрали именно столько хоумранов: 714 и 715.

Арифметические свойства этих чисел столь примечательны, что многие наделяют их эзотерическим значением.

1. Произведение этих чисел равно произведению первых семи простых чисел:

714∙715 = 2∙3∙5∙7∙11∙13∙17.

2. Сумма простых множителей 714 равна сумме простых множителей 715: 714 = 2∙3∙7∙17; 715 = 5∙11∙13, и, как следствие, 2 + 3 + 7 +17 = 5 + 11 + 13.

Число, или постоянная Апери

Постоянная Апери определяется как число £ (3) и вычисляется по формуле:

ζ(3) = 1 + (1/23) + (1/33) + (1/43) +…,

где ζ — дзета-функция Римана. Значение этой постоянной равно:

ζ(3) = 1,202056903159594285399738161511449990764986292…

Эту постоянную открыл математик греческо-французского происхождения Роже Апери, который в 1977 году доказал иррациональность этого числа.

Число О'Райли

Ирландский писатель Ламберт О’Райли в одном из своих романов привел любопытное число:

122333444455555666666777777788888888999999999.

Как вы можете видеть, это число является конечным и содержит в своей записи все натуральные числа от 0 до 9, при этом каждое число количеством своих повторений указывает само на себя: единица повторяется один раз, двойка — два раза и т. д. до девяти девяток. О’Райли мог пойти дальше и записать после девяти девяток десять десяток, затем одиннадцать раз — число одиннадцать и т. д. до бесконечности.

Число, напоминающее о криптографии

Следующее число: 114 381625 757 888 867 669*235 779 976146 612 010 218 296 721 242 362 562 561 842 935 706 935 245 733 897 830 597 123 563 958 705 058 989 075 147 599 290 026 879 543 541 использовали Рональд Ривест, Ади Шамир и Леонард Адлеман в качестве ключа криптографической системы. Они назвали это число R 129 по числу его цифр и бросили вызов всему миру: тот, кто найдет два простых множителя, на которые можно разложить R 129, получит ключ к зашифрованному сообщению. Они были убеждены, что шифр невозможно взломать. Однако в 1993 году группа из более чем 600 ученых и любителей со всего мира начала методичную атаку на это число, координируя свои усилия через Интернет. Менее чем через год им удалось разложить это число на два простых множителя — один из них содержал 65 цифр, другой — 64. Зашифрованное сообщение звучало так: The magic words are squeamish ossifrage («Волшебные слова — брезгливая скопа»). Позднее, в 1996 году, другое подобное число, известное как R 130 (оно содержало 130 цифр), было разложено группой голландских исследователей на два простых множителя, каждый из которых содержал 65 цифр.

ЧИСЛО ГАРСИЯ

Существует столько чисел, названных в честь математиков, что автор этой книги не удержался и создал свое число, пусть и не слишком оригинальное:

0,2483225681922097152…

Запись этого числа содержит первое простое число, затем — следующее четное число, а последующие цифры определяются как произведение двух предыдущих чисел. Способ записи этого числа будет более ясным, если заключить последовательные числа в скобки:

0,24(8)(32)(256)(8192)(2097152)…

Внутри каждых скобок приведен результат умножения двух предыдущих чисел.

Числа из другого мира

Это несколько необычное название носит ряд чисел, которые выходят за пределы нашего воображения, — кватернионы, октонионы и седенионы.

Кватернионами называется расширение вещественных чисел, подобное комплексным числам и обладающее схожими свойствами. Комплексные числа определяются как расширение вещественных чисел путем добавления мнимой единицы i, такой что i2 = — 1. Кватернионы же сформированы путем добавления нескольких мнимых единиц, i, j и k, к вещественным числам так, что

i2 = j2 = k2 = ijk = — 1.

Эти равенства можно представить в так называемой таблице Кэли.

Кватернионы ввел Уильям Гамильтон в 1843 году в попытках расширить комплексные числа на большее число измерений. Определить комплексные числа для трех измерений ему не удалось, однако попытка ввести подобные числа в четырех измерениях оказалась более удачной. Созданные числа Гамильтон назвал кватернионами. Озарение пришло к нему совершенно неожиданно — когда он прогуливался с женой. Сам математик так описывал этот момент: «[Кватернионы] увидели свет уже полностью зрелыми, 16 октября 1843 года, когда я прогуливался с госпожой Гамильтон по Дублину возле моста Брум Бридж. В тот самый момент я почувствовал, что гальваническая цепь рассуждений замкнулась, и из нее посыпались искры — фундаментальные уравнения, связывающие i, j, k [новые числа, которые сыграли ту же роль, что и число i на множестве комплексных чисел], в том виде, в каком я неизменно использовал их впоследствии… В тот момент я почувствовал, что решил задачу и удовлетворил интеллектуальную потребность, которая преследовала меня более пятнадцати лет».

ГУГОЛ

Для записи некоторых больших чисел требуется слишком много цифр, поэтому для них были введены определенные обозначения. К таким числам относится гугол, который записывается как единица со 100 нулями, или 10100. Это число используется для обозначения огромных величин, например числа песчинок в пустыне или расстояния от Земли до далеких планет и галактик. Название «гугол» предложил математик Эдвард Казнер, который признался, что позаимствовал это слово у девятилетнего племянника. Племянник Казнера придумал название и для еще большего числа — гуголплекса, определив его как единицу, за которой следует столько нулей, сколько можно записать, пока не устанет рука. Однако его дядя подошел к определению более строго: гуголплекс — это 10 в степени гугол: 10googol, или .