Вероятности и неприятности. Математика повседневной жизни

Возможность невероятного

Первое свойство мер: «Мера пустого множества равна нулю», — кажется тривиальным, но оно интересно своей асимметричностью. Если мера подмножества равна нулю, из этого не следует, что оно пусто! Например, линия — это, очевидно, непустое подмножество точек плоскости (и точек в ней бесконечно много), но ее мера на плоскости, то есть площадь, не просто исчезающе мала, а в точности равна нулю. Бывают и более экзотические примеры — канторовы и фрактальные множества, имеющие сложную структуру, содержащие бесконечное число точек, зримо «занимающие» некоторую площадь или объем, но тем не менее имеющие нулевую меру.

С появлением вычислительной техники множества с необычными свойствами сошли со страниц математических книг и журналов в область, понятную широкой публике. Они вызывают интерес не заложенной в них математикой, а своеобразной гармоничностью, красотой и завораживающей глубиной, которой обладают их визуализации. Треугольник Серпинского, множество Мандельброта и тесно связанные с ним множества Жулиа, как и многие другие математические объекты, стали визуальным символом века компьютерной графики, прежде недоступной человеку (рис. 2.2).

Рис. 2.2. Некоторые красивые объекты нулевой меры: линия на плоскости, спорадическое множество Жулиа

Готовя эту иллюстрацию, я нашел замечательное изображение несвязного множества Жулиа на прозрачном фоне с высоким разрешением. Вставив его в векторный редактор, я столкнулся с забавной трудностью: было очень нелегко попасть курсором в это изображение, чтобы выделить его. Оно такое «рыхлое», что вероятность попадания в закрашенную точку на экране была заметно меньше, чем в прозрачный фон. В вероятностном пространстве тоже могут существовать подмножества нулевой меры, но это не означает, что события из этих подмножеств невозможны. С четвертой-пятой попытки я смог выделить изображение, поскольку точки на экране все-таки имеют конечный размер. Но что было бы, попади в мое распоряжение настоящее несвязное множество Жулиа с бесконечным разрешением?

Представьте себе, что вы пользуетесь программным генератором случайных чисел, который выдает произвольное вещественное число от 0 до 1. Какова вероятность выпадения 0? А 1/2 или e/π? Во всех этих случаях ответ — ноль! Вернее, самое маленькое доступное компьютеру положительное число, так называемый машинный эпсилон, ведь машина оперирует конечным числом знаков после запятой. «Подождите, — скажете вы, — в каком смысле ноль? Эти же числа не невозможные». Проведем эксперимент. В результате мы получим какое-то конкретное число. Тогда «по построению» вероятность его появления не может быть нулевой. Все верно, но прежде чем выпадет конкретное число, нам придется перебрать бесконечное число случайных чисел! Дело в том, что отдельное число, как точка на отрезке, имеет нулевую меру и честную нулевую вероятность. Отлична от нуля лишь мера сплошного отрезка, пусть даже очень маленького. Именно поэтому мы говорим не о вероятности получить некоторое значение случайной величины, а о плотности вероятности, которая при умножении на конечную меру подмножества в вероятностном пространстве даст конечную величину — вероятность попасть в это подмножество.

Любопытно, но, окажись у нас идеальный генератор случайных чисел с бесконечной точностью, вероятность получить с его помощью какое-либо рациональное число[8] (не какое-то конкретное, а вообще любое) тоже будет равна нулю. Драматизма этому факту придает то обстоятельство, что множество рациональных чисел не просто бесконечно, оно всюду плотно. Это значит, что в любой сколь угодно малой окрестности выбранной рациональной точки можно обнаруживать новые и новые рациональные точки. Если мы захотим изобразить это множество графически на числовой оси, то можем брать карандаш и смело рисовать сплошную прямую на ней. Однако и это множество имеет нулевую меру на множестве всех вещественных чисел! Доказательство того, что рациональные числа образуют плотное подмножество нулевой меры множества вещественных чисел, наделало шума в конце XIX века. В таких случаях математики говорят: случайно выбранное вещественное число почти наверняка будет иррациональным. Как бы странно ни звучало, но «почти наверняка» — точный математический термин, означающий, что событие — дополнение подмножества вероятностного пространства нулевой меры.

Если бы пифагорейцам удалось заглянуть в науку будущего, они пришли бы в недоумение, обнаружив, что верные и понятные рациональные числа — как им казалось, единственно возможные, на которых строилась вся их математика, — практически не встречаются на числовой оси! Вот уж точно — закон подлости! И если в быту мы чаще всего встречаем целые числа или несложные дроби, то даже в повседневной физике или геометрии «работает» большое количество иррациональных зависимостей (корни различных степеней) и трансцендентных функций (синусы, логарифмы и т. п.), делающее рациональные и целые решения редкостью. Среди фундаментальных физических констант нет «фундаментально» рациональных чисел. Некоторые из них — такие как скорость света, заряд электрона, постоянные Планка и Больцмана[9] — приняты рациональными или целыми по соглашению. Просто единицы измерения подобраны так, чтобы фиксировать количество значимых цифр в этих константах, поэтому в таблицах такие величины указаны «точно», но эта точность в известном смысле искусственная, принятая для удобства.

Если кто-то терпеливо проведет тысячу экспериментов с монеткой и радостно скажет вам, что у него получилось столько же выпадений «орлов», сколько и «решек», можете смело выразить сомнение или поздравить его с редкой удачей. Хоть бросание монетки — дискретный случайный процесс, по мере накопления статистики мощность вероятностного пространства будет расти, а мера события «число „орлов“ совпадает с числом „решек“» станет уменьшаться. Можно показать, что вероятность этого «самого вероятного» события уменьшается с ростом числа испытаний как . Для сотни бросаний это около 8 %, для десяти тысяч — в десять раз меньше.

Мы еще вернемся к этим рассуждениям в одной из следующих глав, когда зададимся вопросом о том, насколько каждый из нас может считать себя нормальным.