Вероятности и неприятности. Математика повседневной жизни

От закона велосипедиста к парадоксу инспекции

Вывод, который делает велосипедист, пыхтя на пониженной передаче: «Мир несправедлив, большую часть сил отнимает самая дурацкая часть работы», — часто именуют принципом Парето или принципом «80/20»: «80 % усилий дают 20 % результатов». Это абсолютная эмпирика: принцип Парето никто не доказывал, но его так часто цитируют, что он уже производит впечатление истины. Его используют и как оправдание неудачам, и даже как инструкцию, обнаруживают в самых разных проявлениях. Иногда это работает: например, принципу «80/20» соответствует индекс подлости около 0,6, как для распределения богатства в мире.

У принципа Парето есть полезное для понимания более строгое обобщение. Закон подлости, названный Артуром Блохом в честь безымянного велосипедиста, имеет официальное научное звание: парадокс инспекции. Это хорошо известное явление встречается в разных исследованиях, связанных с социологическими опросами, тестированием, и в теории отказов (разделе прикладной математики, занимающемся надежностью сложных систем), неявно, но систематически смещая наблюдаемые результаты в сторону наиболее часто наблюдаемых явлений.

Приведем классический пример, связанный с неудовольствием пассажиров общественного транспорта. На линии в некоем городе работает множество автобусов. В относительно короткий час пик они переполняются, всё же остальное время ходят почти пустыми. Если мы станем опрашивать пассажиров, то выясним, что большая их доля оказалась невезучей и ехала в переполненном транспорте (по той простой причине, что в переполненном автобусе было больше людей), и получим выражение общего недовольства. Если же мы опросим водителей, то они тоже начнут жаловаться, но, как ни странно, на незаполненность большинства маршрутов и неразумность руководства, гоняющего их попусту. Гибкий график сгладит ситуацию, но в любом случае кривая Лоренца будет отклоняться от кривой равенства, соответствующей невероятной ситуации всегда одинакового числа пассажиров во всех автобусах.

В учебниках по теории вероятностей часто встречается специальный непрозрачный мешок, в который математики складывают разнообразные объекты, а потом наугад вытаскивают их, делая подчас весьма глубокомысленные выводы. Разрешение нашего парадокса в том, что, анализируя систему пассажиропотока в целом, мы кладем в мешок автобусы, а проводя опрос, достаем из него наугад пассажиров и по их данным пытаемся делать выводы об автобусах. Рисунок 1.7 показывает, в чем тут разница.

Рис. 1.7. Статистика по автобусам говорит, что в 75 % машин есть свободные места, то есть они ходят не в полной мере эффективно. А опрос пассажиров обнаружит, что 61 % людей, воспользовавшихся автобусом в этот день, оказались в переполненном транспорте и остались недовольны

Рассмотрим эту ситуацию подробнее, построив кривую Лоренца (на этот раз настоящую) для числа пассажиров в автобусах, показанных на рис. 1.7.

Для этого нужно отсортировать машины по числу пассажиров и последовательно суммировать вклад каждого в общий пассажиропоток.

Полученные кумулятивные суммы следует разделить на их максимальные значения, чтобы получить доли, например, в процентах, после чего их можно нанести на диаграмму (рис. 1.8).

Рис. 1.8. Кривая Лоренца хорошо иллюстрирует несправедливость ситуации с автобусами: половина возит лишь четверть всего пассажиропотока, а на 25 % перегруженных машин приходится половина пассажиров

Кривая Лоренца в данном случае показывает, как распределение числа элементов в некоторых группах (горизонтальная ось) смещается при анализе распределения элементов по принадлежности к группам (вертикальная ось). В этом, собственно, и состоит парадокс инспекции: картинка, которую наблюдает инспектор, оказывается искаженной. Ведь он анализирует не группы, а их элементы, и при этом наблюдаемые значения смещаются в сторону более «весомой» части распределения.

Сам по себе закон велосипедиста очень прост, но он то и дело будет усугублять другие законы подлости, прибавляя им угрюмой эмоциональной окраски. Размышляя об этом, мне нравится представлять, как искажается восприятие мира инспектором, становясь контрастнее. В растровых графических редакторах есть инструмент «Кривые». Он позволяет дизайнеру или фотографу тонко менять контраст картинки, манипулируя распределением числа пикселов по яркости. Вот, например, как меняет восприятие реальности кривая Лоренца, полученная нами для автобусов. Картина мира становится мрачнее, как мы и ожидаем (рис. 1.9).

Рис. 1.9. Кривая Лоренца, примененная в качестве фильтра «Цветовая кривая» в растровом графическом редакторе, делает любую картину мрачнее

Крайнее проявление парадокса инспекции возникает, если в группах, помещенных в наш теоретический мешок, есть не просто редкие элементы, а элементы, не наблюдаемые вовсе. Тогда мы получаем то, что статистики, демографы и публицисты называют систематической ошибкой выжившего.

Часто ее демонстрируют на примере с дельфинами, которые спасают людей, оказавшихся волею несчастного случая в открытом море. Дельфины обнаруживают на поверхности моря любопытный несъедобный объект (человека) и играют с ним, подталкивая носом. При этом они необязательно толкают его в сторону ближайшего берега — часть людей они уводят в открытое море, поскольку разумно предположить, что для дельфина берег, да еще и населенный людьми, опасен. Однако, если всё же дельфины толкают потерпевшего именно к берегу, в сторону спасения, и он благодаря этому выживает, весь мир облетает новость: дельфины спасли человека! О поведении дельфинов во всех прочих печальных случаях, увы, мы не узнаем ничего. Эти элементы из мешка мы не достанем и в статистику они не попадут, так что мы получим явно искаженную картину.

Об этом явлении часто рассказывают в различных демотивирующих статьях для начинающих бизнесменов, уверяя их в том, что успешный путь, описываемый в мотивационных книгах, скорее всего, не для них: «неудачники книг не пишут». Впрочем, к законам подлости это отношения не имеет, тут мы касаемся психологии. Парадокс инспектора и ошибка выжившего действительно способны искажать восприятие действительности, омрачая ее либо придавая излишне радужную окраску. Но с научной точки зрения это методические ошибки при получении и обработке данных. К сожалению, они приводят к расхожему мнению о статистике как нечестном манипулировании фактическими данными среди людей, весьма далеких от этих методик. О таких ошибках знать полезно, чтобы избегать их в своей работе и критически относиться к новостям, слухам и недобросовестным исследованиям. Этой теме посвящена относительно недавняя книга Джордана Элленберга «Как не ошибаться»[6], содержащая множество ярких примеров того, как статистические данные и числа могут быть до забавного неверно поданы и интерпретированы.* * *

Мы встретимся с парадоксом инспекции и его влиянием еще не раз: стоя в очереди или на автобусной остановке, рассуждая о судьбе. Поняв, что это не козни рока, а простейшая математика, с которой бороться смысла нет, можно научиться получать удовольствие и от затяжных подъемов, и от нудных, но неизбежных этапов работы — хотя бы решая в уме задачи или медитируя. Даосы стремились жить вечно и верно рассудили, что вместе с работой над телом для достижения их цели требуется подготовка ума. Ведь для вечной жизни нужно не только умение отпускать привязанности, но и терпение, а также способность получать удовольствие от затяжных участков.