Замечательные числа [Ноль, 666 и другие бестии] (Мир математики. т.21.)

Мнимые числа

Кажется, что рассказ о мнимых числах нужно начинать со слов «жили-были», как сказку. Эйлер описывал мнимые числа так: «…ни ничто, ни больше, чем ничто, ни меньше, чем ничто…» Этот знаменитый математик считал, что эти числа противоречат природе, но поскольку они существуют в нашем разуме, ничто не мешает использовать их в вычислениях. Лейбниц, столкнувшись с этими числами, с удивлением определил их как «амфибию бытия с небытием». Как видите, эти «мимолетные» и «призрачные» числа не слишком нравились математикам.

Квадратный корень из —1 впервые обозначил буквой i Леонард Эйлер в 1777 году, дав ему при этом приведенную выше характеристику. Любое мнимое число можно записать в виде ib, где Ь — вещественное число, i — мнимая единица, обладающая следующим свойством: i2 = —1. Числа вида (a√-1) = ai называются чисто мнимыми, числа вида (а + b√-1) = а + bi — комплексными. Эйлер использовал √-1 — в бесконечных рядах и с помощью этого числа открыл свою удивительную формулу еiπ = —1.

Любопытно, что позже математики увидели: мнимые числа можно применить в расчетах переменных токов. С их помощью сегодня рассчитываются, калибруются и контролируются такие детали, как статоры в электрических трансформаторах.

Напоследок отметим еще одно любопытное свойство этих чисел: результаты их возведения в различные степени повторяются (повторяющаяся часть обведена рамкой):

Леонард Эйлер (1707–1783) совершил множество математических открытий, среди которых — первые попытки использовать комплексные числа.

ПРЕДШЕСТВЕННИКИ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ

Первый известный нам квадратный корень из отрицательного числа равняется √(81-144), он упоминается в «Стереометрике» Герона. Другое похожее число, √(1849–2016), было найдено Диофантом как возможный корень одного из уравнений второй степени. Ни Герон, ни Диофант не рассматривали эти числа всерьез: даже отрицательные числа сами по себе они считали ложными, абсурдными и вымышленными, а уж квадратные корни из отрицательных чисел вообще не принимались во внимание. Первым математиком современности, который записал формулу, содержавшую «бессмысленный» квадратный корень из отрицательного числа, был итальянец Джероламо Кардано. Рассуждая о возможности разбиения числа 10 на части, произведение которых равнялось бы 40, он показал, что эта задача не имеет рациональных решений, но ее ответ можно записать в виде двух невозможных математических выражений: 5 + √-15 и 5 - √-15.