Замечательные числа [Ноль, 666 и другие бестии] (Мир математики. т.21.)

История о ростовщике

Далее мы приведем пример применения числа е на практике. Как и все богачи, ростовщик Ван Жадин неустанно задавался вопросом: как приумножить свое состояние? До этого все займы выдавались под простые проценты, то есть рассчитывались по формуле:

I = P∙R,

где I — сумма процентов, Р — сумма основного долга, R — процентная ставка.

Ван Жадин предложил взимать проценты не только с основного долга, но и с невыплаченных процентов. Так появились сложные проценты, которые рассчитываются по следующей формуле:

A = P(1 + R/n)n

где А — общая сумма к уплате по основному долгу Р с процентной ставкой R, а n — число периодов, за которые начисляются проценты.

Ван Жадин выдал займ в тысячу денежных единиц под 100 % годовых. По прошествии одного года бедный должник должен был вернуть ему 2000 денежных единиц: 1000 в уплату основного долга и еще 1000 — в виде процентов по столь «щедрому» займу. Чтобы определить общую сумму к уплате, нужно использовать первую формулу, заменив Р на 1000 (денежных единиц), R — на 1,0 (100 %). В результате получим сумму процентов к уплате — 1000 денежных единиц.

Ван Жадин в течение многих лет взимал 1000 денежных единиц с каждой 1000, выданной в виде займа, и вот он решил, что настало время требовать большую плату за свой «щедрый» вклад в развитие торговли. Предположим, что по закону максимальная процентная ставка ограничена 100 %. Как ростовщик может обойти это ограничение? Ему в голову пришла блестящая идея. Почему нельзя выдавать деньги под 50 % за полгода? В этом случае во втором полугодии сумма займа будет составлять половину основного долга плюс проценты, начисленные за первые 6 месяцев, при этом все будет выполняться по закону. Здесь щедрый ростовщик обнаружил, что если рассчитывать проценты по-новому, то его доходы возрастут:

A = P(1 + R/n)n, где Р = 1000; R = 1,00 (100 %), n = 2. В нашем случае имеем:

А = 1000 (1 + 1,00/2)2 = 1000∙(1 + 0,5)2 = 1000∙(1,5)2 = 2250.

С займа в 1000 денежных единиц ростовщик теперь в конце года будет получать 2250 единиц. Разве не удивительно? При этом он ни в чем не нарушает закон.

Однако жадность Ван Жадина не знала пределов. Стремясь еще больше увеличить свои доходы, он задумался: что произойдет, если начислять проценты еще чаще? Он решил взимать проценты каждые три месяца — по 25 % четыре раза в год, соблюдая правило, по которому процентная ставка не могла превышать 100 % годовых. Сумма к уплате по займу в этом случае оказалась такой:

А = 1000∙(1 + 0,25)4 = 1000∙1,254 = 2440 единиц.

Теперь ростовщик получит почти на 500 денежных единиц больше по сравнению с использованием простых процентов. Похоже, он напал на золотую жилу. Он решил взимать проценты 12 раз в год, то есть ежемесячно:

А = 1000∙(1 + 1,00/12)12 = 1000∙(1,08333…)12 = 2610 единиц.

Можно заметить, что чем жаднее становился Ван Жадин, тем чаще он взимал проценты и тем больше получал в итоге. Возникает неизбежный вопрос: существует ли некая предельная сумма или же ростовщик может бесконечно наращивать свой доход, взимая проценты все чаще и чаще?

Посмотрим, что получится, если ростовщик будет взимать проценты ежедневно, то есть 365 раз в год:

А = 1000 (1 + 1,00/365)365 = 2715 единиц.

Его доход возрос не слишком сильно по сравнению с 2610 единицами, которые Ван Жадин получит, если будет взимать проценты ежемесячно. Если взимать проценты каждый час, то общая сумма к уплате составит 2718 единиц. Можно взимать проценты ежеминутно и даже ежесекундно, но вскоре станет ясно, что существует предел, к которому будет стремиться итоговая сумма вне зависимости от того, насколько часто будут взиматься проценты. Этот предел можно выразить так:

Таким образом, максимально возможная сумма, которую мы можем получить с одной денежной единицы, если будем взимать проценты бесконечное число раз, будет равна е = 2,71828182845.