Замечательные числа [Ноль, 666 и другие бестии] (Мир математики. т.21.)

Отрицательные числа

Говорят, что данное число n является отрицательным, если оно не является ни нулем, ни положительным числом, то есть его значение меньше 0. В современной нотации отрицательные числа обозначаются знаком —, положительные — знаком +, который обычно опускается. Так, число —3 — отрицательное, 3, или +3, — положительное. Ноль принято считать не положительным и не отрицательным.

Но что обозначают отрицательные числа? За пределами теоретической математики отрицательные числа обозначают противоположную величину, отсутствие, долг. Отрицательные числа используются для обозначения величин, лежащих на измерительной шкале ниже 0, например для отрицательных значений температуры или для указания долга в финансовых транзакциях. По сути, первые коммерсанты оперировали понятиями дебета и кредита, не осознавая, что вычитают отрицательные числа из положительных — их методы были практическими и конкретными. Нотация, которая сегодня используется для обозначения отрицательных и положительных чисел (+ и —), также появилась в торговле: с помощью этих знаков еще в XV веке немецкие торговцы обозначали веса, большие и меньшие среднего. Однако в математике процесс принятия отрицательных чисел проходил не так просто.

Вся история отрицательных чисел в западной цивилизации связана с непониманием и неприятием. Математики Возрождения, столкнувшись с отрицательными числами, отнеслись к ним так же недоверчиво, как и Диофант или индийский математик Бхаскара многими веками ранее. Несмотря на то что в XVI–XVII веках отрицательные числа были уже известны, большинство математиков того времени не считали их числами, а если (с неохотой) соглашались с этим, то не принимали как решения уравнений. Николя Шюке в XV веке и Михаэль Штифель в XVI веке называли отрицательные числа абсурдными числами, и лишь одному математику было известно правило знаков — Джероламо Кардано.

Французский математик Франсуа Виет, современник Кардано, полностью отвергал отрицательные числа, Декарт признавал их лишь частично. Виет называл отрицательные решения уравнений ложными, считая, что эти числа обозначают величины, меньшие, чем ничего. Тем не менее Декарт доказал, что для данного уравнения можно получить другое, решения которого будут больше решений данного уравнения на заданную величину. Таким образом, уравнение с отрицательными решениями могло быть преобразовано в новое уравнение с положительными решениями. Так как стало возможным сменить «ложные» решения на другие, «истинные», Декарт был готов принять отрицательные числа. Паскаль тем не менее считал результат вычитания 4 из 0 абсолютной бессмыслицей.

Портреты двух великих мыслителей XVII века: Рене Декарта (слева) и Блеза Паскаля.

Эти философы не сходились во мнениях по широкому кругу вопросов, в том числе придерживались прямо противоположных точек зрения на отрицательные числа.

Именно друг Паскаля, богослов и математик Антуан Арно, выдвинул определяющий аргумент против отрицательных чисел. Арно поставил под сомнение равенство —1:1 и 1:—1. Он указывал, что —1 меньше, чем +1, следовательно, как может отношение меньшего числа к большему равняться отношению большего числа к меньшему? Эта проблема широко обсуждалась математиками той эпохи. В 1712 году Лейбниц признал это возражение верным, но указал, что произвести вычисления с помощью этих пропорций возможно, так как по форме они верны.

Одним из первых математиков, кто принял отрицательные числа, был англичанин Томас Хэрриот (1560–1621). Он не признавал существования отрицательных корней уравнений, однако рассмотрел уравнения с отрицательными коэффициентами при одной из переменных. Математик фламандского происхождения Симон Стевин использовал уравнения с положительными и отрицательными коэффициентами, признавая, в отличие от своего английского коллеги, существование отрицательных корней.

В своей книге Invention nouvelle en l’algebre (1629) французский математик Альбер Жирар рассматривал отрицательные числа наравне с положительными и приводил два решения квадратного уравнения, причем в одном из случаев оба решения были отрицательными. Жирар отчасти понимал, что отрицательные решения по своему смыслу противоположны положительным, тем самым предвосхитив понятие числовой прямой («Отрицательное в геометрии означает движение назад, — писал Жирар, — в то время как положительное есть движение вперед»).

В целом большинство математиков XVI и XVII веков не принимали отрицательные числа как таковые и лишь иногда признавали их истинными решениями уравнений. Взгляды некоторых математиков той эпохи на отрицательные числа были весьма интересными. Английский математик Джон Валлис в своей книге «Арифметика бесконечного» (1656) утверждал, что поскольку соотношение ОС:0 при положительных ОС является бесконечным, то при замене знаменателя на отрицательное число р отношение ОС:р должно быть больше бесконечности. Эти рассуждения весьма любопытны. Именно Джон Валлис дополнил экспоненциальную нотацию отрицательными степенями на основе некоторых примеров. Так, он доказал, что если последовательность обратных кубов (1/1, 1/8, 1/27…), степени которых равны —3, почленно умножить на последовательность квадратов (1, 4, 9…), степени которых равны 2, то результатом будет последовательность (1/1, 4/8, 9/27…). Результат равносилен последовательности 1/1, 1/2, 1/3… — последовательности чисел, обратных натуральным, следовательно, показатель степени членов этой последовательности равен —1 = —3 + 2.

Сегодня существование отрицательных чисел признается повсеместно, и они используются в расчетах наравне с положительными. Распространение отрицательных чисел позволило открыть мнимые числа, о которых мы поговорим дальше.

ОТРИЦАТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА СТОЧКИ ЗРЕНИЯ АРИФМЕТИКИ

Алгебраическое определение отрицательных чисел гласит, что их можно рассматривать как расширение натуральных чисел, вводимое для того, чтобы уравнение х - у = z имело решение z для всех возможных значений х и у. Если говорить об основных арифметических действиях, то сложение с отрицательным числом равносильно вычитанию: 5 + (-3) = 5 – 3 = 2 (если говорить финансовым языком, то можно сказать, что если у нас есть 5 денежных единиц и мы должны или израсходовали 3 денежных единицы, то наши собственные средства составляют 2 денежные единицы). Вычитание отрицательного числа равносильно сложению с положительным числом: 5 - (-2) = 5 + 2 = 7 (если говорить финансовым языком, то можно сказать, что если у нас есть 5 денежных единиц и нам должны 2 денежных единицы, то наши собственные средства составляют 7 денежных единиц). Результатом умножения двух отрицательных чисел является положительное число. Это можно подтвердить, выразив умножение как сложение числа с самим собой заданное число раз: -4∙(-3) = - (-4) - (-4) - (-4) = 4 + 4 + 4 = 12.