Замечательные числа [Ноль, 666 и другие бестии] (Мир математики. т.21.)

Первые натуральные числа и их значение

В античности (то есть в Древней Греции и Риме, а также современных им государствах) первые десять натуральных чисел считались особенно важными. Расскажем о них подробнее.

0 — двусмысленное число

Перед тем как начать рассказ о натуральных числах, стоит привести некоторые рассуждения о том, как возникло понятие нуля. Во многих древних цивилизациях, в частности вавилонской, египетской и греческой, в культуре майя, были созданы математические или астрономические труды, в которых использовались символы со значением нуля, однако по разным причинам ноль не нашел использования в математике этих культур. Например, в древнеегипетском папирусе Булак 18, датируемом примерно 1700 годом до н. э., 0 выражается знаком nfr. Вавилоняне также приблизились к определению этого непростого понятия: в табличках, возраст которых насчитывает почти 2500 лет, встречается «двойной клин», имеющий значение «пустота», однако, по всей видимости, он не понимался как «ничто» (получаемое, например, вычитанием некоторой величины из себя самой). Поэтому в математическом тексте, найденном в Сузах, автор, не зная, как выразить разность между 20 и 20, заключает: «20 минус 20… результат ты увидишь».

В других случаях дается более подробный комментарий: «Зерно закончилось». Вавилоняне обозначали это непростое понятие и другими способами. В табличке, датируемой примерно 700 годом до н. э. и найденной в древнем месопотамском городе Киш, используется знак «три крючка». В других табличках зафиксирован только один крючок, который в некоторых случаях по форме напоминает современный 0.

Птолемей в своем «Альмагесте», написанном примерно в 130 году н. э., использует символ «пустота» наряду с цифрами или записывает его в конце числа, но понимает этот символ не как цифру, а скорее как примечание. Римляне в расчетах также никак не использовали 0.

А вот в Мезоамерике, напротив, ноль был известен еще до нашей эры. Как указывает один из текстов майя, он использовался уже в 36 году до н. э. Тем не менее формальное определение в рамках математики ноль получил в Индии. Это стало огромным достижением, и мы расскажем о нем подробнее в главе 4.

Майя обладали обширными знаниями математики и в том числе использовали 0.

На иллюстрации — фрагмент так называемого Дрезденского кодекса, в котором рассматриваются вопросы астрономии и приводятся удивительно сложные вычисления.

1

Любопытно, что греки не рассматривали 1 как число — они признавали авторитет Евклида, для которого число являлось совокупностью единиц, сама же единица не считалась числом. Для греков 1 было неделимой единицей, служившей основой всех остальных чисел. Причиной этому служило то, что 1 шло после пустоты, «ничего», а не после 0 (греки, подобно соседним народам, не использовали это понятие). Греки обратили внимание, что при прибавлении 1 к четному числу оно становилось нечетным, и наоборот, нечетное число при прибавлении 1 становилось четным. Именно поэтому единица считалась вспомогательным элементом, который при сложении переводил число из категории четных в категорию нечетных и наоборот.

Единица присутствует в первых записях чисел в истории человечества. С единичной отметки начинали числовые ряды люди эпохи палеолита. Считается, что когда человек открыл 1, он открыл самого себя как индивида. В исламе 1 — это символ божественного, который также отождествляется со светом. В еврейском алфавите 1 считается мужским числом и обозначает, наряду с первой буквой «алеф», всепроникающую божественную силу, отделяющую свет от тьмы. В Сефер Иецира (Книге Творения) говорится, что все слова и все фигуры происходят от Единого Имени.

ПРОСТОЙ ПУТЬ К ЕДИНИЦЕ

Существуют простые арифметические правила, позволяющие прийти от любого числа к 1 — единице, неделимой сущности, и это единственное число, обладающее подобным свойством. Достаточно выполнить три простых действия:

1) если число четное, его нужно разделить на 2;

2) если число нечетное, его нужно умножить на 3 и прибавить 1;

3) повторить вышеописанные действия, пока не получится 1.

Возьмем в качестве примера число 17. Так как оно нечетное, его нужно умножить на 3 и прибавить 1. Получим 52. Разделив результат на 2, получим 26. Снова разделим результат на 2 и получим 13. Так как 13 нечетное, умножим его на 3 и прибавим 1, получим 40. Разделим результат на 2 и получим 20, разделив это число на 2, получим 10, при последующем делении на 2 получим 5. Так как 5 нечетное, умножим его на 3 и прибавим 1, получим 16. Так как это число четное, разделим его на 2 и получим 8, которое при делении на 2 дает 4, затем 2, а 2 при делении на 2 дает искомую единицу.

Эти же действия можно выполнить для любого другого числа, и конечным результатом всегда будет единица. Эта гипотеза еще не доказана, но она справедлива — убедитесь сами.

* * *

Греки обнаружили еще одно особое свойство единицы: это число порождает новые числа при сложении, а не при умножении, и в этом роде оно единственное среди всех натуральных чисел. Уникально оно с точки зрения арифметики: единица совпадает со своим факториалом, квадратом, кубом и всеми остальными степенями. Современная цифра 1, которую используем мы, появилась в Индии, где она пришла на смену первоначальному обозначению — горизонтальной черте.

2

В античности число 2 имело особое философское и теологическое значение: оно обозначало двойственность, столкновение двух противоположностей — добра и зла, четного и нечетного, материи и духа. Наиболее ярко выражает эту систему такая религия, как манихейство, в основе которого лежит дуальная концепция божественного и космоса. В философии диада (двоица) обозначает принцип непротиворечивости, а также противопоставление между «я» и «не-я», или, как в китайском мистицизме, инь и ян. В частности, 2 отождествляется с символом инь — землей и женским началом.

Пифагорейцы, в свою очередь, считали четные числа женскими, поскольку они способны множиться делением; нечетные числа, напротив, считались мужскими. И все же греки сомневались, можно ли считать 2 числом, так как, рассуждали они, оно имеет начало и конец, но не имеет середины.

В эзотерике 2 обозначает эхо, отражение и, как следствие, конфликт, противопоставление: неподвижность при действии равных сил. Геометрически 2 выражается в виде двух точек, двух линий или угла. Это число выражает вторую сторону всего двойственного (Близнецы). Двойка символизирует плавильный котел жизни и заключает в себе две противоположности: добро и зло, жизнь и смерть. Поэтому 2 — это число великой матери, magna mater, и во всех областях эзотерики оно считается роковым.

В каббале 2 обозначает мудрость, но святой Фома называл двойку несчастливым числом. В нумерологии 2 отождествляется с мифологическим героем Аполлоном, богом солнца, который объезжает небосвод в золотой колеснице.

С точки зрения математики 2 — единственное простое четное число (этот факт был известен еще в античности), и благодаря этому свойству двойка заслуживает привилегированного положения на числовом Олимпе.

3

В античности число 3 считалось символом совершенного творения и божественного единства. Человеку вообще свойственно группировать объекты в уме по три: так, например, обычно мы повторяем попытку трижды, и лишь тогда отступаемся от задуманного. Число три упоминается уже в древнейших рукописях, где говорится о трех сокровищах, трех голосах, трех предупреждениях, трех попытках и т. д.

Для греков 3 было первым нечетным и мужским числом (единицу они считали скорее первоначалом, чем числом). Это также первое треугольное число. Треугольные числа, которые могут быть изображены в виде треугольников из точек, описывают геометрическую закономерность образования и роста всех правильных геометрических фигур на плоскости и объемных тел. Греки сопоставляли тройку с треугольником, так как эта геометрическая фигура имеет три стороны и три угла.

Число 3 неизменно присутствует в античных мифах: нам известны три фурии подземного царства, три мойры, три грации, девять муз (три раза по три), а древнегреческому герою Парису нужно было рассудить трех богинь.

«Три грации» Рафаэля, 1504 год.

Объединение в тройки было свойственно людям с древнейших времен.

В Древнем Египте боги и сущности, обладавшие божественными свойствами, объединялись в триады. Основными триадами были Фиванская (Амон, Мут и Хонсу), Осирисская (Осирис, Изида и Гор) и Мемфисская (Птах, Сехмет и Нефертум).

В еврейской и греческой системах счисления число 3, обозначенное буквой гамма, было тем или иным образом связано с понятием непостижимой сущности во всех мистических и религиозных течениях. В частности, множество иудейских практик и предписаний основаны на числе 3. Уже в Книге Бытия (18:1—19) говорится о трех ангелах, которые, приняв человеческий облик, явились Аврааму. Однако чаще всего это число упоминается в Талмуде. Так, в нем говорится: «Бог оплакивает три типа людей: тех, кто может изучать Тору, но не делает этого, тех, кто не может изучать Тору и тем не менее занимается этим, и тех, кто правит всевластно». В этой же книге говорится: «Троим Бог воздает хвалу каждый день: холостяку, который живет благочестиво и не грешит, бедному, который возвращает утерянное владельцу, и богатому, который платит десятину, не кичась собой». Число 3 связано также с наказанием и спасением: «Все, кто будут низвергнуты в ад, вознесутся, за исключением троих, кто будет низвергнут, но не вознесется. Эти трое есть: тот, кто совершит прелюбодеяние с замужней женщиной, тот, кто публично устыдит ближнего своего, и тот, кто прозовет ближнего своего оскорбительным прозвищем». Школа Шамая учит, что в день Страшного суда все люди будут поделены на три группы: «Одной будут праведники, другой — грешники, третьей — те, кто есть ни то, ни другое. Праведники будут переписаны и немедленно вознесутся на небо. Грешники будут переписаны и немедленно низвергнуты в ад. Те же, кто не есть ни грешник, ни праведник, будут низвергнуты в ад, взвоют и затем вознесутся».

В маздакизме, персидском религиозном учении (его основатель, Маздак из Хорасана, реформировал общепринятые в то время идеи и нашел сторонника в лице Кавада, шахиншаха Ирана, жившего в период с 488 по 531 год), вселенная состояла из трех элементов: воды, огня и земли. Эти три элемента, смешиваясь, рождали добро и зло.

В христианстве тройка считается счастливым числом и наполнено множеством смыслов. Так, Святая Троица состоит из Бога Отца, Бога Сына и Бога Духа Святого; тремя тяжкими грехами являются алчность, похоть и гордыня; каждый грех оскорбляет троих: Бога, самого грешника и ближнего его. Также выделяют три степени покаяния: раскаяние, признание и искупление; три добродетели: веру, надежду и любовь; три опасности в мире (Tria sunt pericula mundi: Equum currere, navigare et sub tyranno vivere[2]); трех врагов души: дьявола, мир и плоть; святой Петр трижды отрекся от Христа — это лишь некоторые примеры использования числа 3 в христианстве. Святой Августин считал, что тройка изображает душу и в некотором роде является образом божественного.